Kalkulus

 Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Deskripsi MK:

Mata kuliah ini ditujukan kepada mahasiswa untuk mempelajari konsep-konsep mengenai limit fungsi, kenkontinuan turunan, integral tentu dan integral tak tentu, definisi, sifat-sifat, teorema, dan penerapan dalam soal-soal. Adapun materi perkuliahan yang akan dipelajari meliputi: system bilangan real, definisi turunan, sifat-sifat turunan, turuan dan kekontinuan, definisi integral, sifat-sifat integral, dan rumus-rumus integral.

Komponen Perkuliahan

Komponen penilaian :

Komponen	Persentase
Tugas/kuis	25%
Partisipasi kuliah	10%
UTS	30%
UAS	35%

Konversi penilaian: 

Referensi: 

Varberg, D. & Purcell, E.J. 2001. Kalkulus (terjemah I.N. Susila, dkk). Jilid 1 Edisi VII. Jakarta. Interaksa

Capaian pembelajaran:

1. Mampu memahami bilangan real
2. Mampu memahami fungsi dan penerapannya
3. Mampu memehamai persamaan dan pertidaksamaan linear
4. Mampu memahami turunan dan komponenenya
5. Mampu memahami integral dan fungsi intergral

PERTEMUAN 1: SISTEM BILANGAN REAL

Topik yang dipelajari:

1. Sistem bilangan Real
2. Nilai mutlak
3. Akar kuadrat
4. Kuadrat

Definisi Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan merupakan kumpulan dari bilangan-bilangan. Himpunan bilangan meliputi: himpunan bilangan Asli, himpunan bilangan Cacah, himpunan bilangan Bulat, himpunan bilangan Rasional, himpunan bilangan Irrasional (tak terukur), dan himpunan bilangan Real. 

Cara Menyelesaikan Ketaksamaan 

Menyelesaikan operasi-operasi tertentu pada ketaksamaan yaitu tanpa mengubah himpunannya, adapun untuk menyelesaikannya dapat menggunakan cara berikut:

1. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas ketaksamaan.
2. Mengalikan kedua ruas ketaksamaan dengan suatu bilangan positif
3. Mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negative, tetapi kemudian kita harus membalikkan arah tanda ketaksamaan.

Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real  dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai

Materi PDF:

1. 1.1 SISTEM BILANGAN REAL
2. 1.2 PERTIDAKSAMAAN
3. 1.3 NILAI MUTLAK

Kuis: NILAI 60 /100

Soal 1 

2^-3 * 2^7

=2^4

=16

a. 16

b. 18

c. 12

d. 8

Jawab: A

Soal 2 

(3x^2y^5.10xy^3) / 6x^2y^4

=30x^2y^8 / 6x^2y^4

=5xy^4

a.

b.

c.

d.

Jawab: D

Soal 3

|x+2|<1

=x+2-2 < 1-2

=x < -1

=x+2 >-1

=x+2-2 > -1-2

=x > -3

a. x < -1 atau x > -3

b. x < -2 atau x < -1

c. x < -3 atau x < -1

d. x > -2 atau x < -1

Jawab: A

Soal 4

|2x-1|>2

=2x-1+1 > 2+1

=2x > 3

=x > 3/2

=2x-1 < -2

=2x-1+1 < -2+1

=2x < -1

=x < -1/2 

a. x > -1/2 atau x > 3

b. x > -1/2 atau x > 3/2

c. x > -1 atau x > 3

d. x > -1 atau x > 3/2

Jawab: B

Soal 5

a. |-x| = x
b. |x|^2 = x^2
c. |xy| = |x||y|

d. |x-y| >= |x| = |y|

e. |x| <= |x - y| + |y|

f. √x^2 = x

Manakah dari statement di atas yang benar?

a. a, b, c

b. b, c, d

c. c, d, e

d. d, e, f

Jawab: C

TOPIK 2: FUNGSI

Informasi:

Assalamu'alaikum Wr. Wb.

Teman-teman...

Karena topik untuk pertemuan 2 ternyata sangat banyak jika dibuat dalam video, jadi untuk topik fungsi dan operasi fungsi silahkan dipelajari pada minggu ini. Sedangkan topik fungsi trigonometri silahkan dipelajari minggu depan untuk pertemuan ke-3. Untuk kuis, silahkan dikerjakan jika sudah selesai mempelajari semua topik pada pertemuan ke-3. Yang artinya, teman-teman punya waktu 2 minggu untuk menyelesaikan kuis dan materi bisa terus diakses untuk dipelajari kembali.

Best Regards,

Wassalamu'alaikum Wr. Wb.

Topik yang dipelajari:

1. Operasi pada fungsi
2. Fungsi trigonometri

Definisi Fungsi

Sebuah fungsi  adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan setiap objek  dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal  dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil.

Materi PDF: Fungsi dan Grafik Fungsi

Materi PDF: Operasi pada Fungsi

Materi PDF: Fungsi Trigonometri

Materi PDF: Fungsi

Video pembelajaran dapat diakses di link berikut ini! 

Operasi fungsi

Fungsi Trigonometri

Kuis Pertemuan 2 Nilai 40/100

Soal 1

f(x) = 3x - sqrt(2)

a. 

b. 

c. 

d. 

Jawab: A

Soal 2

f(x) = 3x - sqrt(2)

Bonus karena soal salah

a. 16/15

b. 1

c. -1

d. 15/16

Jawab: D

Soal 3

Jika g(x) = (x³-3x) / sqrt(2), maka ƒ (√2) = 

=(sqrt(2)^3 - 3sqrt(2))/sqrt(2)

=

a. 

b. 

c. 

d. 

Jawab: D

Soal 4

a. x2-4

b. -x2-4

c. -x2+ 4

d. x2+4

Jawab: D

Soal 5

a. 6x - 1

b. 9 - 6x

c. 6x - 9

d. 1 - 6x

Jawab: D

Soal 6

a. 6x - 9

b. 6x + 1

c. 9 - 6x

d. 1 - 6x

Jawab: D

Soal 7

a. 49

b. 50

c. 51

d. 52

Jawab: D

Soal 8

Berapakah radian dari 600?

a. 

b. 

c. 

d. 

Jawab: A

Soal 9

a. 

b.

c.

d.

Jawab: D

Soal 10

Tentukan nilai dari sin 120 dan tentukan letak kuadrannya!

a.

b.

c.

d.

Jawab: D

TOPIK 3: LIMIT

Topik yang dipelajari:

1. Pendahuluan limit
2. Teorema limit

Materi video Limit:

Kuis Pertemuan 3 Nilai 71,43/100

Soal 1

Jika diketahui f(a), maka 

= f(a) 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 2

Jika 

 manakah pernyataan berikut yang benar?

a. 

b. f(a) = 3

c. Jawaban A dan B benar

d. Jawaban A dan B salah

Jawab: A

Soal 3

Diketahui x > 2, nilai dari 

adalah 

a. -2

b. Tidak terdefinisi

c. 2

d. 1

Jawab: D

soal 4

Dari grafik di atas, nilai dari f(-2) adalah 2.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 5

Jika x ≠ 2, maka nilai dari 

 adalah 2.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 6

Jika 

maka hasilnya adalah x - t.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 7

Dari grafik di atas, nilai dari 

adalah tidak terdefinisi.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

TOPIK 4: KEKONTINUAN FUNGSI

Materi PDF: Kekontinuan Limit

Materi Video: 

Kuis Pertemuan 4 Nilai 55,56/100

Soal 1

Maka nilai f(0) adalah tidak terdefinisi.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 2

Nilai dari f(2) adalah 8.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 3

Nilai dari 

adalah 1.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 4

Nilai dari 

 adalah 1.

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 5

Berdasarkan fungsi di atas, maka 

merupakan limit kiri dan 

merupakan limit kanan?

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 6

Berdasarkan soal nomor 2, nilai 

= nilai 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

soal 7

a. Tidak

b. Tidak terdefinisi

c. Iya

d. Terdefinisi

Jawab: A

Soal 8

a. Iya

b. Terdefinisi

c. Tidak

d. Tidak terdefinisi

Jawab: A

Soal 9

Berdasarkan fungsi dari soal 1-8, jika fungsi tersebut kontinu,

a. Karena mempunyai nilai pada masing-masing f(x) dan limitnya

b. Karena nilai f(x) = nilai limit

c. Jawaban A dan B benar

d. Karena limit kiri ≠ limit kanan 

e. Karena nilai f(x) ≠  nilai limit

f. Jawaban D dan E benar

Jawab: F

Ujian Kompetensi 01 Nilai 57,14/100

Soal 1

x^3+3x^3 < 10x

a. 

b. 

c. 

d. 

Jawab: A

Soal 2

|3x-1 / 2x+3| > 3

a.

b.

c.

d.

Jawab: B

Soal 3

Berapakah hasil dari 

a. 

b. 

c. 2

d. 0

Jawab: B

Soal 4

Berapakah hasil dari 

a. 

b. 3

c. 

d. 5

Jawab: C

Soal 5

Carilah domain dan range dari fungsi berikut ini!

a. Domain = (0, 2) dan [3, 4]

Range = (0, 3) 

b. Domain = (0, 2) dan [3, 4)

Range = (0, 3) 

c. Domain = [0, 2) dan (3, 4)

Range = (0, 3) 

d. Domain = (0, 2] dan [3, 4)

Range = (0, 3) 

Jawab: A

Soal 6

Perhatikan fungsi-fungsi di atas, apakah tersebut kontinu di x?

a. Kontinue di f(x)

b. Tidak Kontinu di x

c. Kontinu di x

d. Kontinu di 

Jawab: B

Soal 7

Perhatikan grafik di atas, apakah grafik tersebut memenuhi syarat kekontinuan?

a.

b.

c.

d.

Jawab: D

TOPIK 5: TURUNAN

Materi PDF: Turunan

Latihan Soal: Latihan Soal Turunan

Kuis Pertemuan 5 Nilai 50/100

Soal 1

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 2

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

soal 3

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 4

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 5

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 6

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

TOPIK 6: ATURAN RANTAI DAN NOTASI LEIBNIZ

Materi PDF: 7.1 ATURAN RANTAI DAN NOTASI LEIBNIZ

Latihan Soal: Latihan Soal

Kuis Pertemuan 6 Nilai 60/100

Soal 1

Maka 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 2

Maka 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 3

Maka 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 4

Maka 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 5

Maka 

Pilih satu:

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

TOPIK 7: TURUNAN TINGKAT TINGGI

Video Pembelajaran Turunan

Note:

Kesalahan pengucapan 

k = konstanta bukan skalar

Kuis Pertemuan 7 Nilai 20/100

Soal 1

a.

b.

c.

d.

Jawab: D

Soal 2

a. 18

b. 24

c. -30

d. -18

Jawab: B

Soal 3

a. 12

b. 24

c. 10

d. 22

Jawab: A

Soal 4

a. 3/4

b. -6

c. 3/2

d. 3

Jawab C

Soal 5

a. 48

b. 40

c. 41

d. 46

Jawab: D

TOPIK 8: DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN

Materi PDF: Diferensial dan Hampiran

UJIAN TENGAH SEMESTER

Soal 1

Diketahui (3x^2y^5.10xy^3)/6x^2y^4

, jika x = -10 dan y = 7. Tentukan nilainya!

Jawab: 

Untuk menentukan nilai dari ekspresi (3x^2y^5.10xy^3) / (6x^2y^4) saat x = -10 dan y = 7, kita cukup mengganti x dan y dengan nilai yang diberikan dan melakukan perhitungan.

Mengganti x = -10 dan y = 7 ke dalam ekspresi:

(3(-10)^2(7)^5.10(-10)(7)^3) / (6(-10)^2(7)^4)

Sekarang, kita dapat menyelesaikan perhitungan ini:

(3(100)(16807)(-10)(343)) / (6(100)(2401))

Simplifikasi:

(-1808100) / (14406)

Hasilnya adalah -125.72854 (pembulatan ke lima angka di belakang koma).

Jadi, ketika x = -10 dan y = 7, nilai ekspresi tersebut adalah -125.72854.

Soal 2

Jika 2log 5 = p, maka tentukan nilai 2log 40 !

Jawab:

Jika 2log 5 = p, kita dapat menggunakan sifat logaritma untuk menentukan nilai dari 2log 40.

Perhatikan bahwa 40 dapat diurai menjadi faktor-faktor prima, yaitu 2^3 * 5^1. Kita dapat menulis 40 sebagai 2^3 * 5^1.

Menggunakan sifat logaritma, kita dapat mengurai logaritma dari produk menjadi penjumlahan logaritma individu:

log (40) = log (2^3 * 5^1)

= log (2^3) + log (5^1)

= 3 log (2) + log (5)

Kemudian, kita diketahui bahwa 2log 5 = p. Maka, kita bisa menyusun ulang persamaan ini untuk mendapatkan log 5 dalam bentuk p:

2log 5 = p

log 5^2 = p

log 25 = p

Sekarang, kita dapat menggantikan log 25 dengan p dalam persamaan sebelumnya:

log (40) = 3 log (2) + log (5)

= 3 log (2) + log 25

= 3 log (2) + p

Jadi, nilai dari 2log 40 adalah 3 log (2) + p.

Soal 3

Diketahui g(x) = sqrt(3x - 5) dan f(x) = 4x^3 + 1, tentukan gof(x)!

Jawab: 

Untuk menentukan g o f(x) (g dari f(x)), kita perlu menggantikan setiap kemunculan x dalam fungsi g dengan f(x). Dalam hal ini, f(x) = 4x^3 + 1.

Sehingga, kita dapat menggantikan x dalam fungsi g(x) dengan f(x):

g o f(x) = g(f(x))

= sqrt(3f(x) - 5)

= sqrt(3(4x^3 + 1) - 5)

= sqrt(12x^3 + 3 - 5)

= sqrt(12x^3 - 2)

Jadi, g o f(x) = sqrt(12x^3 - 2).

Soal 4

Dodi, Rangga, Dias, Dimas, dan Laras sedang memainkan permainan ular tangga. Himpunan semesta pada dadu adalah A yang

beranggotakan 1,2,3,4,5,6. Masing-masing pemain diperbolehkan untuk melemparkan dadu sebanyak 2 kali dalam satu permainan. Saat

melemparkan dadu Laras mendapatkan 6 berturut, Dimas mendapatkan 2 dan 5, Dias mendapatkan 1 dan 2, Rangga mendapatkan 3 dan 6,

sedangkan Dodi mendapatkan 3 dan 5. Jika himpunan A adalah pemain yang mendapatkan angka 2 dan 6, sedangkan himpunan C adalah

pemain yang mendapatkan angka 4, jelaskan himpunan apa saja yang dihasilkan dan gambarlah diagram Venn-nya!

Jawab: 

Berdasarkan informasi yang diberikan, kita dapat mengidentifikasi himpunan-himpunan yang ada dalam permainan ini:

Himpunan A: Pemain yang mendapatkan angka 2 dan 6 (Laras dan Rangga)

Himpunan B: Pemain yang mendapatkan angka 4 (Tidak ada pemain yang mendapatkan angka 4)

Himpunan C: Pemain yang mendapatkan angka 2 atau 5 (Dimas, Dias, dan Dodi)

Sekarang, kita dapat menggambarkan diagram Venn untuk memvisualisasikan himpunan-himpunan ini:

css

Copy code

    A: {Laras, Rangga}

   /

A∩C: {}

   \

    C: {Dimas, Dias, Dodi}

Dalam diagram Venn ini, A mewakili pemain yang mendapatkan angka 2 dan 6 (yaitu Laras dan Rangga). Himpunan A∩C (himpunan irisan antara A dan C) tidak memiliki anggota karena tidak ada pemain yang mendapatkan angka 2 atau 6 dan angka 2 atau 5 secara bersamaan. Himpunan C mewakili pemain yang mendapatkan angka 2 atau 5 (yaitu Dimas, Dias, dan Dodi).

Namun, perlu diperhatikan bahwa tidak ada pemain yang mendapatkan angka 4, sehingga himpunan B tidak memiliki anggota dalam konteks ini.

Dengan demikian, himpunan-himpunan yang dihasilkan adalah:

Himpunan A: {Laras, Rangga}

Himpunan B: {}

Himpunan C: {Dimas, Dias, Dodi}

Soal 5

Jika R(s) = s/(s^2 - 1), maka dy/dx adalah...

Jawab: 

Untuk menentukan dy/dx dari persamaan R(s) = s/(s^2 - 1), kita harus menganggap bahwa s adalah fungsi dari x, yaitu s = s(x).

Dalam kasus ini, kita perlu menerapkan aturan rantai (chain rule) untuk mendapatkan dy/dx. Aturan rantai menyatakan bahwa jika y adalah fungsi dari u dan u adalah fungsi dari x, maka dy/dx dapat dinyatakan sebagai (dy/du) * (du/dx).

Mari kita lakukan penurunan terhadap persamaan R(s) terlebih dahulu:

R(s) = s/(s^2 - 1)

Kita dapat menulisnya ulang sebagai:

y = s/(s^2 - 1)

Sekarang, kita perlu mengekspresikan y sebagai fungsi dari x. Dalam hal ini, kita perlu mengubah s menjadi fungsi dari x, yaitu s = s(x).

Jika kita membedakan persamaan terhadap x, kita harus menggunakan aturan rantai untuk mendapatkan dy/dx:

dy/dx = (dy/ds) * (ds/dx)

Pertama-tama, kita hitung dy/ds dari persamaan y = s/(s^2 - 1). Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan aturan turunan bagi:

dy/ds = [(ds/ds) * (s^2 - 1) - s * (d(s^2 - 1)/ds)] / (s^2 - 1)^2

= (s^2 - 1 - s * (2s)) / (s^2 - 1)^2

= (s^2 - 1 - 2s^2) / (s^2 - 1)^2

= (-s^2 - 1) / (s^2 - 1)^2

Selanjutnya, kita perlu menghitung ds/dx. Karena s = s(x), maka ds/dx adalah turunan parsial dari s terhadap x.

Setelah mendapatkan dy/ds dan ds/dx, kita dapat menggabungkannya untuk mendapatkan dy/dx:

dy/dx = (dy/ds) * (ds/dx)

= (-s^2 - 1) / (s^2 - 1)^2 * ds/dx

Namun, kita perlu mengetahui persamaan s(x) yang menghubungkan s dengan x untuk menghitung ds/dx secara spesifik. Jika kita memiliki persamaan s(x), kita dapat menggantikan ds/dx dengan turunan dari persamaan tersebut.

Dalam kasus ini, tanpa informasi tambahan mengenai persamaan s(x), tidak mungkin memberikan nilai yang pasti untuk dy/dx. Oleh karena itu, kita tidak dapat menentukan dy/dx secara spesifik dengan informasi yang telah diberikan.