Kalkulus Kuis Pertemuan 8 & 13

Soal 1

y = x³ pada [0, 6] adalah x₁ = 2√3

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 2

f(x) = x²-6x3 + 12x² - 8x Berapakah nilai hampiran dari f'"'(x)

Note: tuliskan jawaban dalam titik koordinat

Jawab:

Untuk mencari nilai hampiran dari turunan ketiga f'''(x) dari fungsi f(x) = x² - 6x³ + 12x² - 8x, kita perlu mengambil turunan berturut-turut dari fungsi tersebut. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Turunan pertama f'(x):

f'(x) = 2x - 18x² + 24x - 8

Turunan kedua f''(x):

f''(x) = 2 - 36x + 24

Turunan ketiga f'''(x):

f'''(x) = -36

Jawaban dalam titik koordinat adalah (-36, 0).

Topik 9: Maksimum dan Minimum

Nilai 50

Soal 1

y = x² pada interval -2 < x < 2

Berapa nilai maksimum dan minimum?

a. Nilai maksimum = 0 pada x = 0

b. Nilai maksimum = 1 pada x = 1

c. Nilai maksimum = 2 pada x = 2

d. Nilai maksimum = -2 pada x = -2

Jawab: A

Soal 2

y = (x − 3)² pada interval 0 < x < 4

Berapa nilai maksimum dan minimum?

a. Nilai maksimum = 9 pada x = 4; nilai minimum = 0 pada x = 0

b. Nilai maksimum = 9 pada x = 2; nilai minimum = 0 pada x = 3

c. Nilai maksimum = 9 pada x = 3; nilai minimum = 0 pada x = 0

d. Nilai maksimum = 9 pada x = 0; nilai minimum = 0 pada x = 3

Jawab: C

Soal 3

y = √25 – 4x² pada interval −2 < x < 2

Berapa nilai maksimum dan minimum?

a. Nilai maksimum = 5 pada x = -1; nilai minimum = 3 pada x = 0

b. Nilai maksimum = 5 pada x = -2; nilai minimum = 3 pada x = 1

c. Nilai maksimum = 5 pada x = 0; nilai minimum = 3 pada x = 2

d. Nilai maksimum = 5 pada x = 1; nilai minimum = 3 pada x = 2

Jawab: D

Soal 4

Berapa nilai minimum dari fungsi y = 2x² - 4xy + 3y² - 8x+8y-1 = 0 adalah...

a. (-1, -3)

b. (-1, -2)

c. (-3, 0)

d. (-1, 0)

Jawab: B

Topik 11: Integral tak tentu

Nilai: 40

Soal 1

Hasil dari ƒ (3x² - 5x+4) dx

a. x ^ 3 - 5/2 * x ^ 2 + 4x + C
b. 3x ^ 3 - 5x ^ 2 + 4x + C

c. x ^ 3 - 5x ^ 2 + 4x + C

d. 6x ^ 3 - 5/2 * x ^ 2 + 4x + C

Jawab: A

Soal 2

Hasil dari integrate (2x - 1/(2x)) ^ 2 dx adalah...

Jawab: D

Soal 3

integrate (3(1 - x))/(1 + sqrt(x)) dx adalah...

a. 3x - 2x * sqrt(x) + C

b. 2x - 3x * sqrt(x) + C

c. 2x * sqrt(x) - 3x + C

d. 3x * sqrt(x) - 2x + C

Jawab: C

Soal 4

integrate 9x ^ 2 * sqrt(x ^ 3 - 1) dx adalah...

a. (x ^ 3 - 1) * sqrt(x ^ 3 - 1) + C

b. 9(x ^ 3 - 1) * sqrt(x ^ 3 - 1) + C

c. 2(x ^ 3 - 1) * sqrt(x ^ 3 - 1) + C

d. 1/3 * (x ^ 3 - 1) * sqrt(x ^ 3 - 1) + C

Jawab: D

Soal 5

integrate ((x ^ 4 - 1)/(x ^ 3 + x)) ^ 2 dx adalah...

a. 1/3 * x ^ 3 + 1/x - 2x + C

b. 1/3 * x ^ 3 - 1/x - 2x + C

c. 1/3 * x ^ 3 + 1/x + 2x + C

d. 1/3 * x ^ 3 - 1/x + x + C

Jawab: B

TOPIK12: INTEGRAL TENTU DAN SIFAT-SIFATNYA

Nilai 60

Soal 1

Carilah hasil dari integrate 6x ^ 2 dx from 1 to 2!

a. 14

b. 18

c. 16

d. 15

e. 17

Jawab: A

Soal 2

Carilah hasil dari integrate 1/(sqrt(x)) dx from 4 to 9!

a. 8

b. 2

c. 6

d. 4

Jawab: B

Soal 3

Diketahui integrate 2x - 4 dx from 1 to p = - 1, berapakah nilai 2p?

a. 18

b. 12

c. 14

d. 20

Jawab: d

Soal 4

integrate sin 2x dx from 0 to pi/2 adalah...

a. 1/2 sqrt(3)

b. 1/2

c. 1/2 sqrt(2)

d. 1

Jawab: D

Soal 5

integrate (3cos x - 5sin x) dx from 1/6 * pi to 1/6 * pi adalah...

a. 1- sqrt(3)

b. 4+4 sqrt(3)
c. 4-4 sqrt(3)

d. 1+ sqrt(3)

Jawab: C

Ujian Kompetensi 03

Nilai 40/100

Soal 1

Jika:

a. f(x) = x ^ 2

b. f(x)= x²,x + 2 10, x = 2

Apakah lim x -> 2 f(x) = 4

a. Fungsi a mempunyai limit 4, tetapi fungsi b mempunyai limit yang berbeda

b. Tida ada pembuktian jika lim x -> 2 f(x) = 4

c. Iya, lim x -> 2 f(x) = 4 untuk fungsi a dan fungsi b

d. Fungsi a dan fungsi mempunyai limit 2

Jawab: A

Soal 2

Carilah nilai limit berikut:

lim h -> 0 (sqrt(4 + h) - 2)/h

a. 1/4

b. 1/6

c. 1/3

d. 1/2

Jawab: A

Soal 3

Jika y = cos^5 (x ^ 2 - 3x + 1) ,maka partial y partial x adalah...

a. -sin(10x - 15) * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 4 * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 5

b. sinh(10x - 15) * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 4 * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 5

c. -sinh(10x - 15) * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 4 * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 5

d. sin(10x - 15) * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 4 * (x ^ 2 - 3x + 1) ^ 5

Jawab: A

Soal 4

Jika x ^ 2 * y + y ^ 3 = 2 , Maka y'' adalah...

a. -3/2

b. -3/5

c. -3/8

d. -3/4

Jawab: A

Soal 5

Jika f(x) = sqrt(x - 5) , Untuk 5 <= x <= 9 maka f(x) kontinu pada interval tersebut.

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Kuis Pertemuan 13

Nilai 40/100

Soal 1

dy/dx+xy^2 merupakan PD Linear

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 2

(d ^ 3 * y)/(d * x ^ 3) + (d ^ 2 * y)/(d * x ^ 2) + d/dx (y) = 0 merupakan PD Linear

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 3

(d ^ 3 * y)/(d * x ^ 3) + y = sin x merupakan PD Linear

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 4

Persamaan berikut merupakan PDB

(4t ^ 3 * y ^ 3 - 2ty) * dt + (3t ^ 4 * y ^ 2 - t ^ 2) * dy = 0

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 5

Persamaan berikut merupakan PDB

3x ^ 2 * y ^ 2 * dx + (2x ^ 3 * y + 4y ^ 3) * dy = 0

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 6

Persamaan berikut merupakan PDB

- (2y)/(t ^ 3) * dt + 1/(t ^ 2) * dy = 0

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 7

Persamaan berikut merupakan PDB

e ^ y * (d ^ 2 * y)/(d * x ^ 2) + 2 * (d/dx (y)) ^ 2 = 1

a. Benar

b. Salah

Jawab: A

Soal 8

Persamaan berikut merupakan PDB

4 * (d ^ 3 * y)/(d * x ^ 3) + (sin x) * (d ^ 2 * y)/(d * x ^ 2) + 5xy = 0

a. Benar

b. Salah

Jawab: B

Soal 9

y^ prime prime + 2 * y' + y = 0 , hasilnya adalah

a. y^ prime prime + 2 * y' + y = 0 + 2(0) + 1 =1 ne x

b. y^ prime prime(x) = e^-x-e^-x + xe^-x = xe^-x

Jawab: B

Soal 10

y(x)=1 untuk y^ prime prime+2^ prime+y=x, hasilnya adalah...

a. y^ prime prime(x) = e^-x-e^-x + xe^-x = xe^-x

b. y^ prime prime + 2 * y' + y = 0 + 2(0) + 1 =1 ne x

Jawab: A

Tugas Topik 14

Soal 1

Selesaikan persamaan berikut ini

y^ prime = 3yx^2/(x^3+2y^4)

Jawab:

Soal 2

Selesaikan persamaan berikut ini

y^ prime - (3/x)y = x^4y^⅓

Jawab:

Persamaan diferensial yang diberikan adalah \(y' - \frac{3}{x}y = x^4y^\frac{1}{3}\).

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode faktor integrasi. Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. Identifikasi bentuk persamaan: Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linear yang tidak homogen dengan koefisien yang tergantung pada \(x\).

2. Tentukan faktor integrasi: Faktor integrasi diperoleh dengan mengalikan persamaan dengan \(I(x) = e^{\int -\frac{3}{x} \, dx} = e^{-3\ln x} = \frac{1}{x^3}\).

3. Kalikan persamaan dengan faktor integrasi: \(y' \cdot \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x}y \cdot \frac{1}{x^3} = x^4y^\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^3}\).

Menyederhanakan ekspresi: \(y' \cdot \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4}y = \frac{1}{x}y^\frac{1}{3}\).

4. Tuliskan persamaan dalam bentuk diferensial total: \(\left(\frac{y}{x^3}\right)' = \frac{1}{x}y^\frac{1}{3}\).

5. Integralkan kedua sisi persamaan: \(\int \left(\frac{y}{x^3}\right)' \, dx = \int \frac{1}{x}y^\frac{1}{3} \, dx\).

Dengan mengintegrasikan, kita mendapatkan: \(\frac{y}{x^3} = \int \frac{1}{x}y^\frac{1}{3} \, dx + C\).

6. Evaluasi integral: Integral pada sisi kanan persamaan dapat diperoleh dengan menggunakan metode substitusi atau integral tabulasi, tergantung pada bentuk spesifiknya.

7. Dapatkan solusi umum: Setelah melakukan integrasi dan menentukan konstanta C, kita dapat menyusun solusi umum dari persamaan diferensial.